高中数学必修教案

高中数学必修教案

时间:2018-11-16 高中数学教案

www.k8kk.com www.96zdcr.cn   一、教学过程

  1.复习。

  反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

  求出函数y=x3的反函数。

  2.新课。

  先让学生用几何画板画出y=x3的图象,学生纷纷动手,很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声,因为他们得到了如下的图象(图1):

  教师在画出上述图象的学生中选定生1,将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上,很快有学生作出反应。

  生2:这是y=x3的反函数y=的图象。

  师:对,但是怎么会得到这个图象,请大家讨论。

 ?。ㄑ箍致?,但找不出原因。)

  师:我们请生1再给大家演示一下,大家帮他找找原因。

 ?。ㄉ?将他的制作过程重新重复了一次。)

  生3:问题出在他选择的次序不对。

  师:哪个次序?

  生3:作点B前,选择xA和xA3为B的坐标时,他先选择xA3,后选择xA,作出来的点的坐标为(xA3,xA),而不是(xA,xA3)。

  师:是这样吗?我们请生1再做一次。

 ?。ㄕ獯紊?在做的过程当中,按xA、xA3的次序选择,果然得到函数y=x3的图象。)

  师:看来问题确实是出在这个地方,那么请同学再想想,为什么他采用了错误的次序后,恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?

 ?。ㄑ俅蜗萑胨伎?,一会儿有学生举手。)

  师:我们请生4来告诉大家。

  生4:因为他这样做,正好是将y=x3上的点B(x,y)的横坐标x与纵坐标y交换,而y=x3的反函数也正好是将x与y交换。

  师:完全正确。下面我们进一步研究y=x3的图象及其反函数y=的图象的关系,同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系?

 ?。ǘ嗍卮鹂捎蓎=x3的图象得到y=的图象,于是教师进一步追问。)

  师:怎么由y=x3的图象得到y=的图象?

  生5:将y=x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换,可得到y=的图象。

  师:将横坐标与纵坐标互换?怎么换?

 ?。ㄑ皇蔽茨苊靼捉淌Φ囊馑?,场面一下子冷了下来,教师不得不将问题进一步明确。)

  师:我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系,有的话,是什么样的对称关系?

 ?。ㄑ匦驴脊鄄煺饬礁龊耐枷?,一会儿有学生举手。)

  生6:我发现这两个图象应是关于某条直线对称。

  师:能说说是关于哪条直线对称吗?

  生6:我还没找出来。

 ?。ń酉吕?,教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴,画出如下图形,如图2所示:)

  学生通过移动点A(点B、C随之移动)后发现,BC的中点M在同一条直线上,这条直线就是两函数图象的对称轴,在追踪M点后,发现中点的轨迹是直线y=x。

  生7:y=x3的图象及其反函数y=的图象关于直线y=x对称。

  师:这个结论有一般性吗?其他函数及其反函数的图象,也有这种对称关系吗?请同学们用其他函数来试一试。

 ?。ㄑ追谆銎渌肫浞春耐枷蠼醒橹?,最后大家一致得出结论:函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。)

  还是有部分学生举手,因为他们画出了如下图象(图3):

  教师巡视全班时已经发现这个问题,将这个图象传给全班学生后,几乎所有人都看出了问题所在:图中函数y=x2(x∈R)没有反函数,②也不是函数的图象。

  最后教师与学生一起总结:

  点(x,y)与点(y,x)关于直线y=x对称;

  函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。

  二、反思与点评

  1.在开学初,我就教学几何画板4。0的用法,在教函数图象画法的过程当中,发现学生根据选定坐标作点时,不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序,本课设计起源于此。虽然几何画板4。04中,能直接根据函数解析式画出图象,但这样反而不能揭示图象对称的本质,所以本节课教学中,我有意选择了几何画板4。0进行教学。

  2.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为,数学学习过程当中,可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程,但常常由于图形或想象的错误,使人们的思维误入歧途,因此我们既要借助直观,但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念,要注意过于直观的例子常?;嵊跋煅防斫獗冉铣橄蟮母拍?。

  计算机作为一种现代信息技术工具,在直观化方面有很强的表现能力,如在函数的图象、图形变换等方面,利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果;如果只是为了直观而使用计算机,但不能达到更好地理解抽象概念,促进学生思维的目的的话,这样的教学中,计算机最多只是一种普通的直观工具而已。

  在本节课的教学中,计算机更多的是作为学生探索发现的工具,学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系,而且在更深层次上理解了反函数的概念,对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。

  当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主,更多的是把计算机作为一种直观工具,有时甚至只是作为电子黑板使用,今后的发展方向应是:将计算机作为学生的认知工具,让学生通过计算机发现探索,甚至利用计算机来做数学,在此过程当中更好地理解数学概念,促进数学思维,发展数学创新能力。

  3.在引出两个函数图象对称关系的时候,问题设计不甚妥当,本来是想要学生回答两个函数图象对称的关系,但学生误以为是问如何由y=x3的图象得到y=的图象,以致将学生引入歧途。这样的问题在今后的教学中是必须力求避免的。